Calcule a integral de linha integralC(6 y d x-y^2 cos y d y), onde C é o triângulo de vértices (0,0),(2,0) e (0,2) orientado no sentido anti-horário. Resposta: 12.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralCl(6y,dx - y^2cos y,dyr) ao longo do triângulo de vértices (0,0),(2,0),(0,2) orientado no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha fechadas a integrais duplas sobre a região interior, e também calcular a área do triângulo.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partialx Q - partialy Pr),dA
onde P(x,y)=6y e Q(x,y)=-y^2cos y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partialx Q = partialx(-y^2cos y)=0,
partialy P = partialy(6y)=6
Logo o integrando fica
partialx Q - partialy P = 0 - 6 = -6

Passo 4

Agora precisamos da área A do triângulo com base igual a 2 e altura igual a 2. Então
A = tfrac12times 2 times 2 = 2

Passo 5

Substituindo na integral dupla:
ointCl(6y,dx - y^2cos y,dyr) = integral duplaD (-6),dA = -6 times A = -6 times 2 = -12

Resposta

-12

Exercícios relacionados