Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.
y^prime prime-y=sinh 2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de variação de parâmetros, a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-y=sinh(2t)
O que vamos precisar:
– Encontrar a solução geral yh da equação homogênea y''-y=0.
– Aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para obter uma solução particular yp.
– Combinar yh e yp para ter a solução geral.

Passo 2

Resolvendo o homogêneo
y''-y=0,
a equação característica é
r^2-1=0Longrightarrow r=pm1
Portanto, uma base de soluções é
y1=e^t, y2=e^-t,
e a solução geral do homogêneo é
yh=C1e^t+C2e^-t

Passo 3

Variação de parâmetros
Para com , definimos o Wronskiano
As fórmulas dão

Passo 4

Cálculo de u1 e u2
Para u1:
u1=integral e^-tsinh(2t)2,dt =12integral e^-te^2t-e^-2t2,dt =integrall(e^t4-e^-3t4r)dt =e^t4+e^-3t12
Para u2:
u2=integral -e^tsinh(2t)2,dt =-12integral e^te^2t-e^-2t2,dt =integrall(-e^3t4+e^-t4r)dt =-e^3t12-e^-t4

Passo 5

Construindo a solução particular
yp=u1,y1+u2,y2 =l(e^t4+e^-3t12r)e^t +l(-e^3t12-e^-t4r)e^-t =e^2t-e^-2t6 =13sinh(2t)

Passo 6

Solução geral
Somando homogênea e particular, obtemos
y(t) =C1e^t+C2e^-t+13sinh(2t)

Resposta

y(t)=C1e^t+C2e^-t+13sinh(2t)

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