lim x -infty(1+2x)^x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto -inftyl(1+2xr)^x
Esse tipo de limite, em que a base tende a 1 e o expoente tende a -infty, costuma ser resolvido reescrevendo a expressão como exponencial de um logaritmo.

Passo 2

Escrevemos
l(1+2xr)^x =exp!l[xlnl(1+tfrac2xr)r]
Para achar o limite original, basta então determinar
L=limxto -inftyxln!l(1+2xr)

Passo 3

Usamos a expansão em série para ln(1+varepsilon) quando varepsilonto0:
ln(1+varepsilon)=varepsilon-varepsilon^22+O(varepsilon^3)
Aqui varepsilon=tfrac2x, logo
lnl(1+2xr) =2x-2^22x^2+O!l(x^-3r)
e multiplicando por x obtemos
xlnl(1+2xr) =2-2x+O!l(x^-2r) ;xrightarrow[xto-infty];2

Passo 4

Como
limxto -inftyxln!l(1+2xr)=2,
temos
limxto -inftyl(1+2xr)^x =exp(2)=e^2

Resposta

e^2

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