Calcule
, onde
é a circunferência
. Resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral de linha
em que
é a circunferência
.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que relaciona esse integral de linha com uma integral dupla sobre o domínio interior a
.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que relaciona esse integral de linha com uma integral dupla sobre o domínio
Passo 2
Pelo Teorema de Green, se
for percorrida no sentido anti-horário (orientação positiva), vale
onde
e
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo,
Passo 4
O domínio
é o disco de raio
, cujo valor de área é
. Logo, para orientação anti-horária
Passo 5
O enunciado dá como resposta final
, sinal trocado em relação ao caso anti-horário. Isso significa que
foi percorrida no sentido horário (orientação negativa), o que inverte o sinal do resultado. Portanto, adotando o mesmo sentido do enunciado, obtemos