Calcule ointC(8 y-e^x cos x) d x+(6 x+e^y raizy^4+1) d y, onde C é a circunferência x^2+y^2=4. Resposta: 8 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha
ointCl(8 y - e^xcos xr),dx ;+;l(6 x + e^yraizy^4+1r),dy
em que C é a circunferência x^2+y^2=4.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que relaciona esse integral de linha com uma integral dupla sobre o domínio D interior a C.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, se C for percorrida no sentido anti-horário (orientação positiva), vale
ointCP,dx+Q,dy ;=;integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde P(x,y)=8y-e^xcos x e Q(x,y)=6x+e^yraizy^4+1.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partialpartial x(6x+e^yraizy^4+1) =6,
partial Ppartial y =partialpartial y(8y-e^xcos x) =8
Logo,
partial Qpartial x-partial Ppartial y =6-8=-2

Passo 4

O domínio D é o disco de raio 2, cujo valor de área é picdot2^2=4pi. Logo, para orientação anti-horária
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaD(-2),dA =-2cdot(4pi)=-8pi

Passo 5

O enunciado dá como resposta final 8pi, sinal trocado em relação ao caso anti-horário. Isso significa que C foi percorrida no sentido horário (orientação negativa), o que inverte o sinal do resultado. Portanto, adotando o mesmo sentido do enunciado, obtemos

Resposta

8pi

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