Use uma integral de linha para encontrar a área da região varrida pela reta da origem até a hipérbole x=a cosh t, y=b sinh t se t variar de t=0 a t=2. Dica: cosh ^2 t-sinh ^2 t=1. Resposta: a b.

Passo 1

O problema pede a área da região varrida pelos segmentos que ligam a origem ao ponto na hipérbole definido por \ x=a\operatorname{cosh} t, y=b\operatorname{sinh} t, para t de 0 a 2. Vamos usar uma integral de linha fechada para calcular essa área: \ A área de uma região plana limitada por uma curva fechada C pode ser dada por \ \ \ A = \frac12 \oint_C \bigl(x,dy - y,dx\bigr).

Passo 2

Primeiro identificamos o contorno da região. Ele é formado por três partes: 1) o arco da hipérbole de t=0 até t=2, 2) o segmento do ponto (a\cosh2, b\sinh2) até a origem, 3) o segmento do ponto (a,0) até a origem. Nas duas partes radiais, temos x=λX, y=λY com (X,Y) fixo, logo dx\propto dλ, dy\propto dλ e \ x,dy - y,dx =0. Assim apenas o arco da hipérbole contribui ao integral.

Passo 3

Agora parametrizamos o arco da hipérbole por t:\ x(t)=a\operatorname{cosh} t, \ y(t)=b\operatorname{sinh} t, \ com t variando de 0 a 2. Calculamos as derivadas: \ dx = a\operatorname{sinh} t,dt, \ dy = b\operatorname{cosh} t,dt. Substituindo no integrando obtemos: \ \ x,dy - y,dx = a\operatorname{cosh} t\cdot b\operatorname{cosh} t,dt \ \quad{}- b\operatorname{sinh} t\cdot a\operatorname{sinh} t,dt \ = ab\bigl(\operatorname{cosh}^2 t - \operatorname{sinh}^2 t\bigr),dt \ Usando a identidade \operatorname{cosh}^2 t - \operatorname{sinh}^2 t = 1 fica: \ \ x,dy - y,dx = ab,dt.

Passo 4

Por fim inserimos isso na fórmula da área: \ \ A = \frac12 \int_{C} (x,dy - y,dx) = \frac12 \int_{t=0}^{2} ab,dt = \frac12 \bigl[ ab,t \bigr]_{0}^{2} = \frac12 \cdot 2ab = ab.

Resposta

ab

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