Ache solução implícita para:
(y+2) d x+y(x+4) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(y+2),dx + y,(x+4),dy = 0
e pede a solução implícita. Este é um caso de equação na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Primeiro vamos verificar se ela é exata e, em caso negativo, encontrar um fator integrante.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = partialpartial y(y+2) = 1, partial Npartial x = partialpartial xl[y(x+4)r] = y
Como 1neq y, não é exata. Procuramos um fator integrante mu que dependa só de y. A condição é
partial Npartial x-partial Mpartial yM = y-1y+2
que depende apenas de y. Então
mu(y)=exp!l(integral y-1y+2,dyr) =exp!l(integrall(1-tfrac3y+2r),dyr) =e^y,(y+2)^-3

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(y):
M^*(x,y)= (y+2),mu(y), N^*(x,y)= y(x+4),mu(y)
Agora é exata, ou seja, existe Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=M^*, partial Psipartial y=N^*
Integramos M^* em relação a x:
Psi(x,y) =integral (y+2),e^y(y+2)^-3,dx = x,e^y(y+2)^2 + h(y)

Passo 4

Para determinar h(y), derivamos Psi em y e igualamos a N^*:
partial Psipartial y =x,ddy!l[e^y(y+2)^2r]+h'(y) =x,y,e^y(y+2)^3 + h'(y)
deve ser igual a
N^*(x,y) = y(x+4),e^y(y+2)^3 = x,y,e^y(y+2)^3 +4,y,e^y(y+2)^3
Logo
h'(y)=4,y,e^y(y+2)^3
Integramos:
h(y) =integral 4,y,e^y(y+2)^3,dy = 4,e^y(y+2)^2 + C
Assim
Psi(x,y) = x,e^y(y+2)^2 + 4,e^y(y+2)^2 = (x+4),e^y(y+2)^2

Passo 5

A solução implícita é
Psi(x,y)=constante,
ou seja,
(x+4),e^y(y+2)^2 = C

Resposta

(x+4),e^y(y+2)^2 = C

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