Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da equação diferencial:
d yd t-2 at=0, t neq 0, a>0, y(t)=ln (t^2a) ;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y(t)=ln!l(tfract^2ar)
é solução da equação diferencial
dydt-2at=0,
onde tneq0 e a>0. O conteúdo é reconhecimento de solução de uma EDO de primeira ordem, bastando derivar y(t) e substituir na equação.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de
y(t)=ln!l(tfract^2ar)
Reescrevendo,
y(t)=ln(t^2)-ln(a)=2ln|t|-ln(a),
então
dydt =ddtl(2ln|t|-ln(a)r) =2cdot1t =2t

Passo 3

Substituindo tfracdydt=tfrac2t na equação diferencial, o lado esquerdo fica
dydt-2at =2t-2at =2-2at

Passo 4

Para que isso seja igual a zero para todo tneq0, precisamos de
2-2a=0 Longrightarrow a=1
Ou seja, só quando a=1 é que o resíduo desaparece e a equação é satisfeita.

Resposta

A função y(t)=ln!l(tfract^2ar) satisfaz a equação diferencial dydt-2at=0 somente no caso especial a=1. Para aneq1, ela não é solução.

Exercícios relacionados