Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros.
1,2453 53

Passo 1

O enunciado dá a decimal periódica
x = 1,245353,
ou seja
;x = 1.2453535353ldots.
O conteúdo aqui é representação de decimais como séries infinitas e conversão de decimal periódico em fração. Vamos usar (a) a expansão em soma de potências de 10 e (b) o truque de multiplicar por potências de 10 para anular a parte periódica.

Passo 2

Para escrever x como série infinita, separamos os primeiros quatro dígitos e depois a parte que se repete “53” em cada bloco de dois dígitos:
x = 1 + 210 + 410^2 + 510^3 + 310^4 + 510^5 + 310^6 + 510^7 + 310^8 +cdots
Aqui cada tfrac510^2k+3+tfrac310^2k+4 para k>=1 repete o bloco “53”.

Passo 3

Para obter a forma de quociente de inteiros, chamamos ;x=1,245353. Como o período tem 2 dígitos e a parte não periódica tem 4 dígitos, fazemos:
10^4 x = 12453,5353ldots, 10^6 x = 1245353,5353ldots
Subtraindo:
10^6 x - 10^4 x = 1245353,5353ldots - 12453,5353ldots = 1232900
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(10^6 - 10^4),x = 1232900 Longrightarrow x = 123290010^6 - 10^4 = 1232900990000 = 123299900,
que já está na forma irreduzível.

Resposta

(a)
x = 1 + 210 + 410^2 + 510^3 + 310^4 + 510^5 + 310^6 + cdots
(b)
x = 123299900

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