Calcule d zd t nos seguintes casos:
z=raizx^2+y^2 ; x=t^3 e y=cos t

Passo 1

O problema diz que temos a função z=raizx^2+y^2 e que as variáveis x e y dependem de t segundo
x(t)=t^3, y(t)=cos t
O conteúdo é aplicar derivada de função composta (regra da cadeia) usando derivadas parciais de z em relação a x e y e as derivadas de x e y em relação a t.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de z. Como
z=(x^2+y^2)^1/2, temos
partial zpartial x =12(x^2+y^2)^-1/2cdot 2x =xraizx^2+y^2,
partial zpartial y =12(x^2+y^2)^-1/2cdot 2y =yraizx^2+y^2

Passo 3

Agora as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt=ddt(t^3)=3t^2, dydt=ddt(cos t)=-sin t

Passo 4

Pela regra da cadeia para funções de várias variáveis,
dzdt =partial zpartial x,dxdt +partial zpartial y,dydt

Passo 5

Substituindo os resultados:
dzdt =xraizx^2+y^2cdot 3t^2 +yraizx^2+y^2cdot(-sin t) =3t^2,x - y,sin traizx^2+y^2
Como x=t^3 e y=cos t,
dzdt =3t^2,t^3 - (cos t),sin traiz(t^3)^2+(cos t)^2 =3t^5-cos t,sin traizt^6+cos^2t

Resposta

dzdt =3t^5-cos t,sin traizt^6+cos^2t

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