Mostre que y1(x)=x^3 é solução da equação diferencial
2 x^2 y^prime prime-x y^prime-9 y=0

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra mostrar que y1(x)=x^3 resolve a equação
2x^2y'' - x,y' - 9y = 0
Isso é uma equação diferencial de segunda ordem. Pra resolver, a gente vai usar a regra de derivada de potências e depois substituir as derivadas na equação pra checar se o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, achamos y' e y''. A teoria diz: se y=x^n, então
y' = n,x^n-1
Aqui n=3, logo
y'(x)=3x^2
Derivando de novo (mesma regra de potência):
y''(x)=3cdot2,x^2-1=6x

Passo 3

Agora é só substituir tudo em
2x^2y'' ;-; x,y' ;-; 9y
Fica
2x^2,(6x);-; x,(3x^2);-;9,(x^3) =12x^3 - 3x^3 - 9x^3 =(12-3-9)x^3 =0cdot x^3 =0
Deu zero, então a equação está satisfeita.

Resposta

y1(x)=x^3 é solução, pois ao substituir y, y' e y'' na equação diferencial o lado esquerdo zera.

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