Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada.
com e

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
d^2ydx^2 - 2dydx + 5y = 0
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. O conteúdo é resolução de EDO homogênea de segunda ordem usando a equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo ypropto e^rx:
r^2 - 2r + 5 = 0
Resolvendo-a temos
r = 2 pm raiz4 - 202 = 1 pm 2i
ou seja, raízes complexas.

Passo 3

Para raízes complexas alpha pm ibeta a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Aqui alpha=1 e beta=2, logo
y(x) = e^xl(C1cos(2x) + C2sin(2x)r)

Passo 4

Agora calculamos a derivada
y'(x) = e^xl(C1cos(2x) + C2sin(2x)r) + e^xl(-2C1sin(2x) + 2C2cos(2x)r)
Aplicando y(0)=0 C1=0. Com y'(0)=1 vem C1+2C2=1 e, como C1=0, obtemos C2=1/2. Substituindo em y(x) chegamos à solução particular.

Resposta

y(x) = tfrac12 e^xsin(2x)

Exercícios relacionados