Verifique que a mudança de variáveis para coordenadas polares
também transforma uma equação homogênea
em uma equação separável, da forma
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial homogênea
ou seja,
é homogênea de grau zero e depende só da razão
. Queremos mostrar que, ao fazer
com
função de
, a EDO se torna separável na forma
Para isso usaremos (i) a regra paramétrica
e (ii) a homogeneidade de
.
Passo 2
Como
e
, aplicamos a regra do produto para obter
Passo 3
Logo
Pela homogeneidade de grau zero temos
pois
e
. Assim a EDO se reescreve como
Passo 4
Multiplicando em cruz e rearranjando termos em
dá
Passo 5
Para chegar à forma final substituímos
e cancelamos
:
Essa é uma EDO separável em
e
.