Verifique que a mudança de variáveis para coordenadas polares x=r cos theta, y=r sen theta também transforma uma equação homogênea
d yd x=h(x, y)
em uma equação separável, da forma
d rd theta=r 1+(tg theta) h(tg theta, 1)h(tg theta, 1)-tg theta

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial homogênea
dydx=h(x,y),
ou seja, h é homogênea de grau zero e depende só da razão y/x. Queremos mostrar que, ao fazer
x=rcostheta, y=rsintheta
com r função de theta, a EDO se torna separável na forma
drdtheta = r,1+tantheta;h(tantheta,1)h(tantheta,1)-tantheta
Para isso usaremos (i) a regra paramétrica tfracdydx=(dy/dtheta)/(dx/dtheta) e (ii) a homogeneidade de h.

Passo 2

Como x(theta)=r(theta)costheta e y(theta)=r(theta)sintheta, aplicamos a regra do produto para obter
dydtheta =drdtheta,sintheta + r,costheta, dxdtheta =drdtheta,costheta - r,sintheta

Passo 3

Logo
dydx =dydthetadxdtheta =drdthetasintheta + rcostheta drdthetacostheta - rsintheta
Pela homogeneidade de grau zero temos
hl(rcostheta,rsinthetar) =hl(tantheta,1r),
pois h(x,y)=H(y/x) e y/x=tantheta. Assim a EDO se reescreve como
drdthetasintheta + rcostheta drdthetacostheta - rsintheta = hl(tantheta,1r)

Passo 4

Multiplicando em cruz e rearranjando termos em tfracdrdtheta
drdtheta,sintheta + rcostheta = hl(tantheta,1r) l(drdthetacostheta - rsinthetar),
drdtheta,sintheta - h,drdtheta,costheta = -rl(h,sintheta + costhetar),
drdtheta = -r,h,sintheta + costheta sintheta - h,costheta

Passo 5

Para chegar à forma final substituímos sintheta=tanthetacostheta e cancelamos costheta:
drdtheta = -r h,tanthetacostheta + costheta tanthetacostheta - h,costheta = r,1 + tantheta,h(tantheta,1),h(tantheta,1)-tantheta,
Essa é uma EDO separável em r e theta.

Resposta

drdtheta = r,1 + tantheta,h(tantheta,1)h(tantheta,1)-tantheta

Exercícios relacionados