Em cada item abaixo, indique se a equação é separável, homogênea, exata, linear, ou nenhum desses tipos.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para classificá-la como separável, homogênea (no sentido de
), exata, linear ou nenhum desses. Vamos usar as definições de cada tipo de EDO de 1ª ordem.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão para identificação de linearidade e exatidão, isto é, isolamos todos os termos em
:
Passo 3
Teste de separabilidade: uma EDO é separável se puder escrever
Aqui a direita é
, que não se decompõe em função só de
vezes função só de
. Logo, não é separável.
Passo 4
Teste de homogeneidade (no sentido padrão de
): reescrever a função como
. Temos
que depende de
e também de
. Portanto não é função apenas de
e não é homogênea nesse sentido.
Passo 5
Teste de exatidão: escrevemos em forma diferencial
onde
e
. Como
não são iguais, a equação não é exata.
Passo 6
Teste de linearidade: uma EDO é linear em
se puder ser colocada na forma
Aqui já temos
ou seja
e
. Logo a equação é linear de primeira ordem.
Resposta
A equação é linear.