Em cada item abaixo, indique se a equação é separável, homogênea, exata, linear, ou nenhum desses tipos.
d yd x=x y-x^2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx=x,y - x^2
e pede para classificá-la como separável, homogênea (no sentido de dy/dx=F(y/x)), exata, linear ou nenhum desses. Vamos usar as definições de cada tipo de EDO de 1ª ordem.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão para identificação de linearidade e exatidão, isto é, isolamos todos os termos em dy/dx:
dydx-x,y=-x^2

Passo 3

Teste de separabilidade: uma EDO é separável se puder escrever
dydx=f(x),g(y),
Aqui a direita é x,y - x^2=x,(y - x), que não se decompõe em função só de x vezes função só de y. Logo, não é separável.

Passo 4

Teste de homogeneidade (no sentido padrão de dy/dx=F(y/x)): reescrever a função como F(y/x). Temos
dydx=x^2l(yx-1r),,
que depende de tfracyx e também de x^2. Portanto não é função apenas de tfracyx e não é homogênea nesse sentido.

Passo 5

Teste de exatidão: escrevemos em forma diferencial
-l(x,y - x^2r),dx + 1cdotdy=0,
onde M(x,y)=-x,y + x^2 e N(x,y)=1. Como
partial Mpartial y=-xepartial Npartial x=0,
não são iguais, a equação não é exata.

Passo 6

Teste de linearidade: uma EDO é linear em y se puder ser colocada na forma
dydx+P(x),y=Q(x)
Aqui já temos
dydx-x,y=-x^2,
ou seja P(x)=-x e Q(x)=-x^2. Logo a equação é linear de primeira ordem.

Resposta

A equação é linear.

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