Ache a solução particular para os problemas de valor inicial dados.
\left(\cos x \sin x-x y^{2}\right) d x=-\left(y-x^{2} y\right) d y e y(0)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(\cos x\,\sin x - x\,y^{2}\bigr)\,dx \;=\; -\bigl(y - x^{2}y\bigr)\,dy
com a condição inicial y(0)=2.
Isso é da matéria de EDOs exatas: vamos reescrever em forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
identificar M e N, verificar a exatidão \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, achar uma função potencial \varphi(x,y) tal que \phi_x=M e \phi_y=N, e por fim usar y(0)=2.

Passo 2

Reescrevendo todos os termos de um lado, temos
\bigl(\cos x\,\sin x - x\,y^{2}\bigr)\,dx \;+\;\bigl(y - x^{2}y\bigr)\,dy \;=\;0,
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M(x,y)=\cos x\,\sin x - x\,y^{2}, \qquad N(x,y)=y - x^{2}y.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = -2x\,y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = -2x\,y,
portanto \partial M/\partial y = \partial N/\partial x e a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = N(x,y) = y - x^{2}y = y\,(1 - x^{2}).
Integramos em y:
\varphi(x,y) = \int \!y\,(1 - x^{2})\,dy + h(x) = \frac{1 - x^{2}}{2}\,y^{2} + h(x).

Passo 4

Agora impomos \partial \varphi/\partial x = M(x,y). Calculando
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{1 - x^{2}}{2}\,y^{2}\Bigr) + h'(x) = -x\,y^{2} + h'(x),
e isso deve ser igual a
M(x,y)=\cos x\,\sin x - x\,y^{2}.
Cancelando -x\,y^{2} em ambos os lados, obtemos
h'(x)=\cos x\,\sin x,
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h(x)=\int \cos x\,\sin x\,dx =\tfrac12\sin^{2}x + C_{1}.
Podemos incorporar C_{1} depois na constante geral.

Passo 5

Assim a função potencial é
\varphi(x,y) =\frac{1 - x^{2}}{2}\,y^{2} + \frac12\sin^{2}x.
A solução geral implícita é
\varphi(x,y)=C \;\Longrightarrow\; (1 - x^{2})\,y^{2} + \sin^{2}x = C'.
Para y(0)=2 temos
(1 - 0)\cdot 2^{2} + \sin^{2}0 = 4 \;\Longrightarrow\; C'=4.

Passo 6

A solução particular fica
(1 - x^{2})\,y^{2} + \sin^{2}x = 4.
Para isolar y, escrevemos
y^{2} = \frac{4 - \sin^{2}x}{1 - x^{2}},
e, como y(0)=2>0, tomamos a raiz positiva:
y(x) = \sqrt{\frac{4 - \sin^{2}x}{1 - x^{2}}}.

Resposta

y(x) = \sqrt{\frac{4 - \sin^{2}x}{1 - x^{2}}}.

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