Ache a solução particular para os problemas de valor inicial dados.
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com a condição inicial
.
Isso é da matéria de EDOs exatas: vamos reescrever em forma
Isso é da matéria de EDOs exatas: vamos reescrever em forma
identificar
e
, verificar a exatidão
, achar uma função potencial
tal que
e
, e por fim usar
.
Passo 2
Reescrevendo todos os termos de um lado, temos
logo
Calculamos
portanto
e a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe
tal que
Integramos em
:
Passo 4
Agora impomos
. Calculando
e isso deve ser igual a
Cancelando
em ambos os lados, obtemos
logo
Podemos incorporar
depois na constante geral.
Passo 5
Assim a função potencial é
A solução geral implícita é
Para
temos
Passo 6
A solução particular fica
Para isolar
, escrevemos
e, como
, tomamos a raiz positiva: