Verifique se a EDO 4 y^{2}\left(y^{\prime}\right)^{2}+4 y^{2}-\left(x+y y^{\prime}\right)^{2}=0 tem como solução geral x^{2}-3 y^{2}= C^{2}+4 x^{2} \pm 4 C x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a família implícita
x^{2}-3y^{2}=C^{2}+4x^{2}\pm4Cx
satisfaz a equação diferencial de primeira ordem
4\,y^{2}\bigl(y'\bigr)^{2}+4\,y^{2}-\bigl(x+y\,y'\bigr)^{2}=0.
A estratégia é fazer diferenciação implícita em relação a x para encontrar y', depois calcular as expressões-chave y', x+y\,y' e substituí-las na EDO, usando também a relação inicial para mostrar que sobra 0.

Passo 2

Diferenciando
x^{2}-3y^{2}=C^{2}+4x^{2}\pm4Cx
em relação a x, lembrando que C é constante, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)-3\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr) =\frac{d}{dx}\bigl(C^{2}\bigr)+4\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)\pm4C\frac{d}{dx}(x).
Isto dá
2x -6y\,y' =0+8x\pm4C.

Passo 3

Isolando y' na equação
2x -6y\,y'=8x\pm4C
segue
-6y\,y'=8x\pm4C -2x =6x\pm4C \quad\Longrightarrow\quad y'=-\frac{6x\pm4C}{6y}=-\frac{3x\pm2C}{3y}.

Passo 4

Agora calculamos
x+y\,y' = x + y\Bigl(-\frac{3x\pm2C}{3y}\Bigr) = x -\frac{3x\pm2C}{3} =\frac{3x-(3x\pm2C)}{3} =\mp\frac{2C}{3}.

Passo 5

Com y'=-\tfrac{3x\pm2C}{3y} temos
(y')^{2}=\frac{(3x\pm2C)^{2}}{9y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad 4y^{2}(y')^{2} =\frac{4\,(3x\pm2C)^{2}}{9},
e já vimos que
(x+y\,y')^{2}=\Bigl(\mp\frac{2C}{3}\Bigr)^{2}=\frac{4C^{2}}{9}.

Passo 6

Substituindo na EDO
4y^{2}(y')^{2}+4y^{2}-\bigl(x+y\,y'\bigr)^{2} =\frac{4(3x\pm2C)^{2}}{9}+4y^{2}-\frac{4C^{2}}{9}.
Colocando tudo sobre 9 e agrupando:
\frac{4\bigl((3x\pm2C)^{2}-C^{2}\bigr)}{9}+4y^{2} =\frac{4(9x^{2}\pm12Cx+4C^{2}-C^{2})}{9}+4y^{2} =\frac{4(9x^{2}\pm12Cx+3C^{2})}{9}+4y^{2}.
Multiplicando por 9:
4(9x^{2}\pm12Cx+3C^{2})+36y^{2} =36x^{2}\pm48Cx+12C^{2}+36y^{2}.
Mas da relação inicial temos
x^{2}-3y^{2}=C^{2}+4x^{2}\pm4Cx \;\Longleftrightarrow\; -3y^{2}-4x^{2}\mp4Cx-C^{2}= -x^{2},
ou ainda, reorganizando e multiplicando por 4:
36y^{2}+12C^{2}\pm48Cx+36x^{2}=0.
Logo a expressão acima é zero, mostrando que a EDO é satisfeita.

Resposta

A família de curvas
x^{2}-3y^{2}=C^{2}+4x^{2}\pm4Cx
de fato satisfaz a equação diferencial dada.

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