Verifique se a EDO
tem como solução geral
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a família implícita
satisfaz a equação diferencial de primeira ordem
A estratégia é fazer diferenciação implícita em relação a
para encontrar
, depois calcular as expressões-chave
,
e substituí-las na EDO, usando também a relação inicial para mostrar que sobra
.
Passo 2
Diferenciando
em relação a
, lembrando que
é constante, obtemos
Isto dá
Passo 3
Isolando
na equação
segue
Passo 4
Agora calculamos
Passo 5
Com
temos
e já vimos que
Passo 6
Substituindo na EDO
Colocando tudo sobre
e agrupando:
Multiplicando por
:
Mas da relação inicial temos
ou ainda, reorganizando e multiplicando por
:
Logo a expressão acima é zero, mostrando que a EDO é satisfeita.
Resposta
A família de curvas
de fato satisfaz a equação diferencial dada.