Resolva as EDO’S de 2{ }^{\mathrm{a}} ordem abaixo:
5 y^{\prime \prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes
5\,y'' + 2\,y = 0.
Isso é uma EDO homogênea, linear, sem termo em y'. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^{r x}. Substituindo na EDO, temos
5\,(r^2 e^{r x}) + 2\,(e^{r x}) = 0 \quad\Longrightarrow\quad e^{r x}\bigl(5r^2 + 2\bigr) = 0.
Como e^{r x}\neq0, o que sobra é o polinômio característico.

Passo 3

O polinômio característico é
5r^2 + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = -\frac{2}{5} \quad\Longrightarrow\quad r = \pm i\sqrt{\tfrac{2}{5}}.
Temos raízes complexas conjugadas r_{1,2} = \pm i\omega com \omega = \sqrt{2/5}.

Passo 4

Para raízes r = \pm i\omega, a solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}\cos(\omega x) \;+\; C_{2}\sin(\omega x),
onde \omega = \sqrt{\tfrac{2}{5}} e C_{1},C_{2} são constantes arbitárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

\boxed{y(x) = C_{1}\cos\Bigl(\sqrt{\tfrac{2}{5}}\,x\Bigr) + C_{2}\sin\Bigl(\sqrt{\tfrac{2}{5}}\,x\Bigr).}

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