Resolva as equações diferenciais ordinárias.
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime}=x y+x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
(1 - x^{2})\,y' = x\,y + x\,y^{2}.
O conteúdo envolvido é o de equações separáveis: vamos isolar y e x em lados opostos e integrar.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a derivada explícita:
y' = \frac{x\,y + x\,y^{2}}{1 - x^{2}} = \frac{x\,y\,(1 + y)}{1 - x^{2}}.
Em seguida separamos variáveis:
\frac{dy}{y\,(1 + y)} = \frac{x}{1 - x^{2}}\,dx.

Passo 3

Integramos cada lado. No lado de y:
\int \frac{dy}{y\,(1 + y)} = \int\Bigl(\frac{1}{y} - \frac{1}{1 + y}\Bigr)\,dy = \ln\lvert y\rvert - \ln\lvert 1 + y\rvert.
No lado de x:
\int \frac{x}{1 - x^{2}}\,dx \quad\text{fazendo }u = 1 - x^{2},\;du = -2x\,dx, \quad\text{vem} \quad -\tfrac12 \ln\lvert 1 - x^{2}\rvert.

Passo 4

Igualando as integrais e introduzindo constante C:
\ln\Bigl|\frac{y}{1 + y}\Bigr| = -\tfrac12 \ln\lvert 1 - x^{2}\rvert + C.
Exponenciando:
\frac{y}{1 + y} = K\,(1 - x^{2})^{-\tfrac12},
onde K = e^{C} é constante arbitrária.

Passo 5

Isolamos y. Multiplicando ambos os lados por 1+y:
y = K\,(1 - x^{2})^{-\tfrac12}\,(1 + y) \;\Longrightarrow\; y\bigl[1 - K\,(1 - x^{2})^{-\tfrac12}\bigr] = K\,(1 - x^{2})^{-\tfrac12}.
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y = \frac{K\,(1 - x^{2})^{-\tfrac12}}{1 - K\,(1 - x^{2})^{-\tfrac12}} = \frac{K}{\sqrt{1 - x^{2}} - K}.

Resposta

A solução geral é
\boxed{y(x) = \frac{C}{\sqrt{1 - x^{2}} - C},}
onde C é constante arbitrária.

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