Ache a solução particular dos problemas de valor inicial (PVI) abaixo.
e^2 x y^prime=2(x+2) y^3, y(0)=1raiz5

Passo 1

O problema é o valor inicial
e^2xy' = 2(x+2),y^3
com
y(0) = 1raiz5
Este é um caso clássico de equação diferencial de variáveis separáveis.

Passo 2

Reescrevendo y'=dydx, temos
dydx = 2(x+2)e^-2xy^3
Separando as variáveis:
dyy^3 = 2(x+2)e^-2x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y^-3,dy = integral 2(x+2)e^-2x,dx

Passo 4

Avaliação das integrais:
  1. Lado esquerdo:
integral y^-3,dy = -12y^2
  1. Lado direito, por partes com u = x+2, dv = 2e^-2xdx:
integral 2(x+2)e^-2xdx = -(x+tfrac52)e^-2x + C

Passo 5

Igualando os dois resultados:
-12y^2 = -(x+tfrac52)e^-2x + C
Multiplicando por -1 e definindo C'=-C, obtemos
12y^2 = (x+tfrac52)e^-2x + C'

Passo 6

Usando x=0 e y(0)=1/raiz5:
12l(tfrac15r) = l(0+tfrac52r)cdot1 + C' Longrightarrow 52 = 52 + C' Longrightarrow C' = 0

Passo 7

Com C'=0,
12y^2 = (x+tfrac52)e^-2x Longrightarrow y^2 = 12(x+tfrac52)e^-2x = e^2x2x+5
Como y(0)>0, escolhemos a raiz positiva:
y(x) = e^xraiz2x+5

Resposta

y(x) = e^xraiz2x+5

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