Determine a derivada das funções abaixo.
(h) f(x)=integral2^1x arctg t d t .

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=integral2^1xarctgt,dt
e pede f'(x). Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais com limite variável e depois aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
F(x)=integrala^u(x)g(t),dt,
então
F'(x)=gl(u(x)r),u'(x)

Passo 3

Aqui g(t)=arctgt e u(x)=tfrac1x. Calculamos
u'(x)=ddxl(tfrac1xr)=-1x^2

Passo 4

Substituindo no teorema, obtemos
f'(x)=arctgl(u(x)r),u'(x) =arctg!l(tfrac1xr),l(-tfrac1x^2r) =-1x^2,arctg!l(tfrac1xr)

Resposta

f'(x)=-1x^2,arctg!l(1xr)

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