Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
8)
sumk=1^infty[1k+2-1k+1]

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência e, em caso afirmativo, calcular a soma da série
sumk=1^infty[1k+2-1k+1]
O conteúdo aqui é série telescópica: vamos usar o cancelamento de termos nas somas parciais.

Passo 2

Definimos a soma parcial
Sn = sumk=1^n[1k+2-1k+1]
Nosso objetivo é escrever Sn de forma que possamos ver o cancelamento telescópico e depois calcular limntoinftySn.

Passo 3

Escrevendo os primeiros termos de Sn, temos
Sn = l(tfrac13-tfrac12r) + l(tfrac14-tfrac13r) + cdots + l(tfrac1n+2-tfrac1n+1r)
Observe que todos os termos internos se cancelam: +tfrac13 cancela com -tfrac13, +tfrac14 com -tfrac14, e assim por diante.

Passo 4

Após o cancelamento resta apenas
Sn = 1n+2 - 12
Tomando o limite quando ntoinfty,
limntoinftySn = 0 - 12 = -12
Logo, a série converge e sua soma é -tfrac12.

Resposta

A série converge e
sumk=1^infty[1k+2-1k+1] = -12

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