Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
7)
sumk=2^infty 1k(k+1)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=2^infty1k(k+1)
e, se ela convergir, encontrar a soma. O método mais direto aqui é usar decomposição em frações parciais e notar que a série é telescópica.

Passo 2

Decompomos o termo geral em frações parciais. Para cada k>=2,
1k(k+1) =Ak+Bk+1
e resolvendo 1 = A(k+1)+Bk obtemos A=1 e B=-1. Logo,
1k(k+1)=1k-1k+1

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
SN=sumk=2^N1k(k+1) =sumk=2^Nl(1k-1k+1r)
Observe que ao escrever os termos um a um ocorre cancelamento em cascata:
SN=(tfrac12-tfrac13)+(tfrac13-tfrac14)+cdots+(tfrac1N-tfrac1N+1) =12-1N+1

Passo 4

Tomamos o limite quando Ntoinfty:
limNtoinftySN =limNtoinftyl(12-1N+1r) =12
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac12.

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