Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
7)
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Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, se ela convergir, encontrar a soma. O método mais direto aqui é usar decomposição em frações parciais e notar que a série é telescópica.
Passo 2
Decompomos o termo geral em frações parciais. Para cada
,
e resolvendo
obtemos
e
. Logo,
Passo 3
Definimos a soma parcial até
:
Observe que ao escrever os termos um a um ocorre cancelamento em cascata:
Passo 4
Tomamos o limite quando
:
Como o limite existe e é finito, a série converge.
Resposta
A série converge e sua soma é
.