- Ache uma solução de
que passe pelos pontos indicados.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que é separável. O conteúdo aqui é separação de variáveis e integração de frações parciais.
Passo 2
Separamos as variáveis escrevendo
Fazendo frações parciais em
temos
logo
Passo 3
Exponenciando, obtemos
onde
K=e^C . Desse modo
Além disso há as soluções constantes
y(x)=0 e
y(x)=1 , pois
y(y-1)=0 zera a derivada.
Passo 4
Para
(0,1) : no ponto
x=0 temos
y(0)=1/(1-Kcdot0)=1 para qualquer
K . Isso mostra não unicidade no ponto singular
x=0 . Por exemplo, escolhendo
K=0 fica
Passo 5
Para
(0,0) : a família
y=1/(1-Kx) nunca atinge
y=0 em
x=0 , então a única solução que passa por
(0,0) é a constante
Passo 6
Para
l(tfrac12,tfrac12r) : impomos
Logo
Passo 7
Para
l(2,tfrac14r) : impomos
Logo
Resposta
a) Há infinitas soluções; por exemplo
y(x)=1 .
b)y(x)=0 .
c)y(x)=11+2x
d)y(x)=22+3x
b)
c)
d)