1. Ache uma solução de x d yd x=y^2-y que passe pelos pontos indicados.
    a) (0,1)
    b) (0,0)
    c) (12, 12)
    d) (2, 14)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
xdydx=y^2-y
que é separável. O conteúdo aqui é separação de variáveis e integração de frações parciais.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dyy(y-1)=dxx
Fazendo frações parciais em 1y(y-1) temos
1y(y-1)=-1y+1y-1,
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integrall(-1y+1y-1r)dy=integraldxx ;Longrightarrow; -ln|y|+ln|y-1|=ln|x|+C

Passo 3

Exponenciando, obtemos
lnl|y-1yr|=ln|x|+C ;Longrightarrow; y-1y=Kx,
onde K=e^C. Desse modo
1-1y=Kx ;Longrightarrow; 1y=1-Kx ;Longrightarrow; y(x)=11-Kx
Além disso há as soluções constantes y(x)=0 e y(x)=1, pois y(y-1)=0 zera a derivada.

Passo 4

Para (0,1): no ponto x=0 temos y(0)=1/(1-Kcdot0)=1 para qualquer K. Isso mostra não unicidade no ponto singular x=0. Por exemplo, escolhendo K=0 fica
y(x)=1

Passo 5

Para (0,0): a família y=1/(1-Kx) nunca atinge y=0 em x=0, então a única solução que passa por (0,0) é a constante
y(x)=0

Passo 6

Para l(tfrac12,tfrac12r): impomos
11-Kcdot12=12 ;Longrightarrow; 1- K2=2 ;Longrightarrow; K=-2
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y(x)=11+2x

Passo 7

Para l(2,tfrac14r): impomos
11-Kcdot2=14 ;Longrightarrow; 1-2K=4 ;Longrightarrow; K=-tfrac32
Logo
y(x)=11+tfrac32x=22+3x

Resposta

a) Há infinitas soluções; por exemplo y(x)=1.
b) y(x)=0.
c) y(x)=11+2x
d) y(x)=22+3x

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