Resolva:
x^2 y^3 d x+x^3 y^2 d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x^2y^3,dx + x^3y^2,dy = 0
que está na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com M(x,y)=x^2y^3 e N(x,y)=x^3y^2. O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas e vamos precisar verificar a condição de exatidão e, se for exata, encontrar uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=M e partial Psipartial y=N

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão calculando as derivadas parciais cruzadas:
partial Mpartial y = partialpartial yl(x^2y^3r) =3x^2y^2,
partial Npartial x = partialpartial xl(x^3y^2r) =3x^2y^2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M(x,y) = x^2y^3
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
Psi(x,y) = integral x^2y^3,dx = y^3,x^33 + h(y) = x^3y^33 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Calculamos agora partial Psi/partial y e igualamos a N(x,y):
partial Psipartial y = partialpartial yl(x^3y^33 + h(y)r) = x^3y^2 + h'(y) stackrel!= N(x,y)=x^3y^2
Isso implica h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Passo 5

Portanto, a função potencial pode ser escrita como
Psi(x,y) = x^3y^33 + C
e a solução implícita da equação diferencial exata é
Psi(x,y)=constante,
isto é,
x^3y^33=C' Longrightarrow x^3y^3=C
com C constante arbitrária.

Resposta

x^3y^3=C

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