Resolva:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que está na forma
com
e
. O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas e vamos precisar verificar a condição de exatidão e, se for exata, encontrar uma função potencial
tal que
Passo 2
Verificamos a condição de exatidão calculando as derivadas parciais cruzadas:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Calculamos agora
e igualamos a
:
Isso implica
, logo
é constante.
Passo 5
Portanto, a função potencial pode ser escrita como
e a solução implícita da equação diferencial exata é
isto é,
com
constante arbitrária.