Seja C uma curva parametrizada regular dada por theta: R R^2 de modo que
theta^prime prime(t)=-2 cdot theta^prime(t) para todo, t in R
a) Determine as possíveis formas de theta.
b) Que tipo de curva é C .

Passo 1

O enunciado nos dá uma parametrização theta:RtoR^2 regular (isto é, theta'(t)neq 0) sujeita à equação diferencial vetorial de segunda ordem
theta''(t)=-2,theta'(t), tinR
O conteúdo a usar é a solução geral de uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes em cada componente de theta.

Passo 2

Escrevemos a equação como
theta''(t)+2,theta'(t)=0
Trata-se de uma EDO do tipo y''+2y'=0, cuja raiz característica é lambda(lambda+2)=0, ou seja, lambda=0 ou lambda=-2. Como estamos tratando de um vetor theta, o mesmo raciocínio dá que
theta'(t)=v,e^-2t,
onde vinR^2 é um vetor constante (o termo correspondente a lambda=0 em theta' seria uma constante, mas isso geraria theta''=0neq-2theta' a menos que esse termo seja zero).

Passo 3

Para obter theta(t) integramos theta'(t)=v,e^-2t:
theta(t)=integral v,e^-2t,dt =-tfrac12,v,e^-2t+w,
onde winR^2 é o vetor de integração. Definindo A=w e B=-tfrac12,v, escrevemos de forma mais direta
theta(t)=A+B,e^-2t,
com A,BinR^2 constantes.

Passo 4

Como a curva é regular, precisamos de theta'(t)neq0 para todo t. Mas
theta'(t)=v,e^-2t=-2B,e^-2t,
logo exige-se vneq0 e, portanto, Bneq0. Assim a forma geral válida é
theta(t)=A+B,e^-2t, Bneq0

Passo 5

Geometricamente, o conjunto imagem de theta é
lA+B,e^-2t:tinRr =lA+u,B:u>0r,
pois u=e^-2t percorre (0,infty). Isso é uma reta determinada por A e a direção B, mas com u>0 dá uma semi-reta (uma “raio aberto” saindo de A).

Resposta

a) theta(t)=A+B,e^-2t, onde A,BinR^2 são constantes e Bneq0.
b) A curva C é uma semi-reta (o traço é uma porção de reta no conjunto A+uBmid u>0).

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