Seja
uma curva parametrizada regular dada por
de modo que
a) Determine as possíveis formas de
.
b) Que tipo de curva é C .
b) Que tipo de curva é C .
Passo 1
O enunciado nos dá uma parametrização
regular (isto é,
) sujeita à equação diferencial vetorial de segunda ordem
O conteúdo a usar é a solução geral de uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes em cada componente de
.
Passo 2
Escrevemos a equação como
Trata-se de uma EDO do tipo
, cuja raiz característica é
, ou seja,
ou
. Como estamos tratando de um vetor
, o mesmo raciocínio dá que
onde
é um vetor constante (o termo correspondente a
em
seria uma constante, mas isso geraria
a menos que esse termo seja zero).
Passo 3
Para obter
integramos
:
onde
é o vetor de integração. Definindo
e
, escrevemos de forma mais direta
com
constantes.
Passo 4
Como a curva é regular, precisamos de
para todo
. Mas
logo exige-se
e, portanto,
. Assim a forma geral válida é
Passo 5
Geometricamente, o conjunto imagem de
é
pois
percorre
. Isso é uma reta determinada por
e a direção
, mas com
dá uma semi-reta (uma “raio aberto” saindo de
).
Resposta
a)
, onde
são constantes e
.
b) A curva é uma semi-reta (o traço é uma porção de reta no conjunto
).
b) A curva