Ache a solução do problema de valor inicial proposto:
y^{\prime}(t)=\frac{\left(3 x^{2}-e^{x}\right)}{(2 y-5)} com a condição y(t=0)=1;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem separável
y' = \frac{3x^2 - e^x}{2y - 5}
com condição inicial y(0)=1. Vamos separar variáveis e integrar para obter a solução geral.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (2y - 5)\,dx e obtemos
(2y - 5)\,dy = (3x^2 - e^x)\,dx,
depois integramos ambos os lados.

Passo 3

Calculamos as integrais:
\int(2y - 5)\,dy = \int 2y\,dy - \int5\,dy = y^2 - 5y,
\int(3x^2 - e^x)\,dx = \int3x^2\,dx - \int e^x\,dx = x^3 - e^x,
logo, inserindo a constante de integração C,
y^2 - 5y = x^3 - e^x + C.
Aplicando x=0, y(0)=1
1^2 - 5\cdot1 = 0^3 - e^0 + C \quad\Rightarrow\quad -4 = -1 + C \quad\Rightarrow\quad C = -3.

Passo 4

Substituindo C=-3 na relação implícita, temos
y^2 - 5y - (x^3 - e^x - 3) = 0.
É uma equação quadrática em y. O discriminante é
\Delta = 25 + 4\,(x^3 - e^x - 3) = 4x^3 - 4e^x + 13.
Pela fórmula de Bhaskara,
y = \frac{5 \pm \sqrt{4x^3 - 4e^x + 13}}{2}.
Para satisfazer y(0)=1 escolhemos o sinal “ -”, pois
\frac{5 - \sqrt{9}}{2} = 1.

Resposta

y(x) = \frac{5 - \sqrt{4x^3 - 4e^x + 13}}{2}.

Exercícios relacionados