Calcule detalhadamente as seguintes integrais: (2.5 pontos)
\int x^{3} \cos \left(x^{4}+2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{3}\cos\bigl(x^{4}+2\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é integração por substituição (regra da cadeia ao contrário). Vamos escolher uma substituição que simplifique o argumento do cosseno.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{4} + 2.
Então
du = 4x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\,du.
Substituindo na integral original, obtemos
\int x^{3}\cos\bigl(x^{4}+2\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{1}{4}\,du = \frac{1}{4}\int \cos(u)\,du.

Passo 3

Agora integramos \cos(u). Sabemos que
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C.
Logo
\frac{1}{4}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{4}\,\sin(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos u = x^{4}+2. Portanto a antiderivada é
\frac{1}{4}\sin\bigl(x^{4}+2\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\sin\bigl(x^{4}+2\bigr) + C

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