Suponha que a \neq b e a \neq 0. Calcule:
\int \frac{d x}{(x-a)(x-b)},

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{(x-a)(x-b)},
supondo a\neq b e a\neq0.
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais, seguida da integração de termos do tipo \int dx/(x - c).

Passo 2

Decompondo em frações parciais, escrevemos
\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}.
Multiplicando por (x-a)(x-b) obtém-se
1 = A(x-b) + B(x-a).
Fazendo x = a 1 = A(a-b), logo A = \frac{1}{a-b}.
Fazendo x = b 1 = B(b-a), logo B = \frac{1}{b-a} = -\frac{1}{a-b}.
Portanto
\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{1}{a-b}\,\frac{1}{x-a} -\frac{1}{a-b}\,\frac{1}{x-b} = \frac{1}{a-b}\Bigl(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x-b}\Bigr).

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{dx}{(x-a)(x-b)} = \frac{1}{a-b}\int\Bigl(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x-b}\Bigr)dx.
Como \int dx/(x-c)=\ln|x-c|, vem
\int \frac{dx}{(x-a)(x-b)} = \frac{1}{a-b}\bigl(\ln|x-a| - \ln|x-b|\bigr) + C.

Passo 4

Podemos agrupar os logaritmos:
\ln|x-a| - \ln|x-b| = \ln\Bigl|\frac{x-a}{x-b}\Bigr|.
Assim a integral final fica
\int \frac{dx}{(x-a)(x-b)} = \frac{1}{a-b}\,\ln\Bigl|\frac{x-a}{x-b}\Bigr| + C.

Resposta

\boxed{\int \frac{dx}{(x-a)(x-b)} = \frac{1}{a-b}\ln\!\Bigl|\frac{x-a}{x-b}\Bigr| + C.}

Exercícios relacionados