Suponha que a \neq b e a \neq 0. Calcule:
\int \frac{d x}{x^{2}(x-a)}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{dx}{x^{2}(x-a)}
supondo a\neq 0. O conteúdo principal aqui é integração de frações racionais, e vamos usar decomposição em frações parciais para transformar essa integral em somas de termos simples de integrar.

Passo 2

Primeiro escrevemos a decomposição em frações parciais. Como o denominador é x^{2}(x-a), buscamos constantes A, B e C tais que
\frac{1}{x^{2}(x-a)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x-a}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}(x-a), obtemos
1 = A\,x(x - a) + B\,(x - a) + C\,x^{2}.
Expandindo e agrupando em potências de x:
1 = (A+C)\,x^{2} + (B - A\,a)\,x - B\,a.

Passo 3

Igualando coeficientes de cada potência de x\) a zero (exceto o termo constante igual a 1), temos o sistema \[\begin{cases} A + C = 0,\\\ B - A\,a = 0,\\\\ -\,B\,a = 1. \end{cases}
Da terceira equação vem B = -\frac{1}{a}\]. Da segunda, \(A = \frac{B}{a} = -\frac{1}{a^{2}}.
Da primeira, C = -A = \frac{1}{a^{2}}.

Passo 4

Substituindo A, B e C na integral, fica
\int \frac{dx}{x^{2}(x-a)} = \int\Bigl(-\tfrac{1}{a^{2}}\,\tfrac{1}{x} \;-\;\tfrac{1}{a}\,\tfrac{1}{x^{2}} \;+\;\tfrac{1}{a^{2}}\,\tfrac{1}{x-a}\Bigr)dx.
Agora integramos termo a termo:
-\frac{1}{a^{2}}\int \frac{dx}{x} -\frac{1}{a}\int x^{-2}dx +\frac{1}{a^{2}}\int \frac{dx}{x-a}.
Isso dá
-\frac{1}{a^{2}}\ln\bigl|x\bigr| -\frac{1}{a}\bigl(-\tfrac{1}{x}\bigr) +\frac{1}{a^{2}}\ln\bigl|x-a\bigr| + C.
Reagrupando logaritmos e simplificando,
\int \frac{dx}{x^{2}(x-a)} = \frac{1}{a^{2}}\ln\Bigl|\frac{x-a}{x}\Bigr| +\frac{1}{a\,x} + C.

Resposta

\boxed{\, \int \frac{dx}{x^{2}(x-a)} = \frac{1}{a^{2}}\ln\Bigl|\frac{x-a}{x}\Bigr| +\frac{1}{a\,x} + C \,}.

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