Calcule detalhadamente as seguintes integrais: (2.5 pontos)
\int \sqrt{2 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sqrt{2x+1}\,dx
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois dentro da raiz aparece a expressão linear 2x+1.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 2x + 1,
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du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Substituindo na integral original, obtemos
\int \sqrt{2x+1}\,dx = \int \sqrt{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{1/2} \,du.

Passo 3

Agora calculamos a primitiva de u^{1/2}:
\frac{1}{2}\int u^{1/2} \,du = \frac{1}{2}\cdot \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} + C = \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{1}{3}u^{3/2} + C.

Passo 4

Retornando à variável x pela relação u=2x+1, concluímos
\int \sqrt{2x+1}\,dx = \frac{1}{3}(2x+1)^{3/2} + C.

Resposta

\frac{(2x+1)^{3/2}}{3} + C

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