Analise a equação diferencial a seguir:
f^prime(t)=a cdot sen(t+b)
De acordo com a expressão acima, avalie as afirmativas abaixo:
I. A equação indicada na expressão é do primeiro grau, pois possui expoente 1 na derivada.
II. A equação indicada pode representar um modelo físico, uma vez que descreve a taxa de variação de uma variável em relação a outra.
III. A equação diferencial indicada possui uma solução geral, a qual pode ser obtida pela integração da mesma.
É correto o que se afirma em:
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  • I, apenas.
  • I, II e III.
  • III, apenas.
  • II, apenas.
  • II e III, apenas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
f^prime(t) = a cdot sen(t + b)
O assunto aqui é equações diferenciais de primeiro grau. Vamos precisar entender o que é uma equação diferencial, o que significa ser de primeiro grau, como elas podem modelar fenômenos físicos e como encontrar soluções gerais usando integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial. Basicamente, é uma equação que relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. No nosso caso, f^prime(t) é a derivada de f(t) em relação a t.

Passo 3

Agora, sobre ser de primeiro grau: isso significa que a derivada está elevada ao expoente 1 e que a equação envolve apenas a primeira derivada da função. Na nossa equação:
f^prime(t) = a cdot sen(t + b)
A derivada f^prime(t) está realmente com expoente 1 e não há derivadas de ordem superior. Então, a afirmativa I está correta.

Passo 4

Vamos ver se a equação pode representar um modelo físico. Equações diferenciais são frequentemente usadas para modelar a taxa de variação de uma quantidade. Nesse caso, f^prime(t) descreve como f(t) está mudando em relação a t. Isso é comum em física, como na velocidade sendo a derivada da posição. Então, a afirmativa II também está correta.

Passo 5

Por último, vamos falar sobre a solução geral da equação diferencial. Para encontrar f(t), precisamos integrar ambos os lados da equação:
f(t) = integral a cdot sen(t + b) , dt + C
Onde C é a constante de integração. Isso mostra que a equação diferencial possui uma solução geral obtida pela integração. Portanto, a afirmativa III está correta.

Resposta

Todas as três afirmativas estão corretas. A resposta correta é:
  • I, II e III.

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