Ache a solução do PVI dado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
. Para isso, vamos usar o método do polinômio característico.
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico associado à EDO:
Esse polinômio nos dá as raízes que determinam a forma da solução geral.
Passo 3
Resolvendo
usamos a fórmula de Bhaskara ou fatoração, o que dá as raízes
Portanto, a solução geral é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Para impor as condições iniciais, calculamos a derivada de
:
Passo 5
Aplicando
em
e
, montamos o sistema
Passo 6
Da primeira equação
D,e^-1 = -C,e^5 . Substituindo na segunda:
Então
D,e^-1 = -tfrac13 , logo
Passo 7
Substituindo
C e
D na solução geral e fatorando em torno de
x-1 , obtemos