Ache a solução do PVI dado.
y^prime prime-4 y^prime-5 y=0
y(1)=0 y^prime(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' - 5y = 0
sujeita às condições iniciais y(1)=0 e y'(1)=2. Para isso, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado à EDO:
r^2 - 4r - 5 = 0
Esse polinômio nos dá as raízes que determinam a forma da solução geral.

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 4r - 5 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara ou fatoração, o que dá as raízes
r1 = 5 e r2 = -1
Portanto, a solução geral é
y(x) = C,e^5x + D,e^-x,
onde C e D são constantes a determinar.

Passo 4

Para impor as condições iniciais, calculamos a derivada de y(x):
y'(x) = 5C,e^5x ;-; D,e^-x

Passo 5

Aplicando x=1 em y e y', montamos o sistema
C,e^5 + D,e^-1 = 0, 5C,e^5 - D,e^-1 = 2

Passo 6

Da primeira equação D,e^-1 = -C,e^5. Substituindo na segunda:
5C,e^5 - l(-C,e^5r) = 2 Longrightarrow 6C,e^5 = 2 Longrightarrow C = 26,e^5 = 13e^5
Então D,e^-1 = -tfrac13, logo
D = -tfrac13,e = -e3

Passo 7

Substituindo C e D na solução geral e fatorando em torno de x-1, obtemos
y(x) = 13e^5,e^5x ;-;e3,e^-x = 13l(e^5(x-1) - e^-(x-1)r)

Resposta

y(x) = 13l(e^5(x-1) - e^-(x-1)r)

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