Ache a solução do PVI dado.
,
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
com as condições
Como é uma equação diferencial linear de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes, vamos usar o método do polinômio característico.
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico associado à equação:
Resolvendo-o, temos
Passo 3
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Impondo
na solução geral:
Passo 5
Agora calculamos
e aplicamos
. Derivando
onde
. Em
e usando
:
Passo 6
Com
e
, segue que
é a única solução que satisfaz o PVI.