Ache a solução do PVI dado.
y^prime prime+y^prime+2 y=0,
y(0)=y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y'' + y' + 2y = 0,
com as condições
y(0)=0, y'(0)=0
Como é uma equação diferencial linear de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado à equação:
r^2 + r + 2 = 0
Resolvendo-o, temos
r = -1 pm raiz1 - 82 = -1 pm iraiz72

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas r = -tfrac12 pm i,tfracraiz72, a solução geral é
y(t) = e^-t/2l(C1cosl(tfracraiz72tr) + C2sinl(tfracraiz72tr)r),
onde C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Impondo y(0)=0 na solução geral:
y(0)=e^0l(C1cos0 + C2sin0r)=C1cdot1 + C2cdot0 = C1 = 0

Passo 5

Agora calculamos y'(t) e aplicamos y'(0)=0. Derivando
y'(t) = e^-t/2l(-tfrac12(C1cosomega t + C2sinomega t) - C1omegasinomega t + C2omegacosomega tr),
onde omega = tfracraiz72. Em t=0 e usando C1=0:
y'(0)= -tfrac12,(0) + C2,omega = C2,omega = 0 Longrightarrow C2 = 0

Passo 6

Com C1=0 e C2=0, segue que
y(t)equiv 0
é a única solução que satisfaz o PVI.

Resposta

y(t)=0

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