lim x infty(1+1x)^x2

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftyl(1+1xr)^x2
Isso é um limite do tipo (1+1x)^x que nos leva à definição do número e. Vamos usar a técnica de escrever a expressão como exponencial e avaliar o limite do expoente usando expansão de ln.

Passo 2

Reescrevemos a expressão em termos de exponencial:
l(1+1xr)^x2 =expl(lnl(1+tfrac1xr)^x2r) =expl(x2,lnl(1+tfrac1xr)r)

Passo 3

Agora avaliamos o limite do expoente. Sabemos que para xtoinfty,
lnl(1+1xr)=1x-12x^2+ol(1x^2r),
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x2,lnl(1+1xr) =x2l(1x-12x^2+o(tfrac1x^2)r) =12-14x+ol(tfrac1xr) longrightarrow12

Passo 4

Como o expoente tende a tfrac12, a expressão toda tende a
expl(tfrac12r)=e^tfrac12

Resposta

raize

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