Q29
Ache uma expressão para a área sob o gráfico de
como um limite da soma de áreas de retângulos. Não calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente achar uma expressão para a área sob o gráfico de
no intervalo de
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a ideia de somas de Riemann para aproximar áreas. Para resolver isso, vamos precisar dividir o intervalo em vários retângulos, calcular a área de cada um e depois somar tudo isso, chegando a um limite quando o número de retângulos aumenta infinitamente.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo de 1 a 16 em
subintervalos iguais. Isso significa que cada subintervalo vai ter uma largura igual, que a gente chama de
. Para encontrar essa largura, a gente faz:
Passo 3
Agora, para cada um desses subintervalos, precisamos escolher um ponto específico para calcular a altura do retângulo. Vamos usar os pontos finais à direita, ou seja, para o
-ésimo subintervalo, o ponto será:
onde
vai de 1 até
.
Passo 4
A altura de cada retângulo é dada pelo valor da função
nesse ponto
. Então, a altura será:
Passo 5
A área de cada retângulo é a altura multiplicada pela largura
. Então, a soma das áreas de todos os retângulos será:
Passo 6
Para achar a área total sob o gráfico de
, a gente tira o limite dessa soma quando
tende ao infinito. Isso nos dá a integral definida de
de 1 a 16:
Resposta
A expressão para a área sob o gráfico de
no intervalo de 1 a 16 é