Q29

Ache uma expressão para a área sob o gráfico de f como um limite da soma de áreas de retângulos. Não calcule o limite.
f(x)=raiz[4]x, 1 <= x <= 16

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente achar uma expressão para a área sob o gráfico de f(x) = raiz[4]x no intervalo de 1 <= x <= 16 . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a ideia de somas de Riemann para aproximar áreas. Para resolver isso, vamos precisar dividir o intervalo em vários retângulos, calcular a área de cada um e depois somar tudo isso, chegando a um limite quando o número de retângulos aumenta infinitamente.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo de 1 a 16 em n subintervalos iguais. Isso significa que cada subintervalo vai ter uma largura igual, que a gente chama de De<a x . Para encontrar essa largura, a gente faz:
De<a x = 16 - 1n = 15n

Passo 3

Agora, para cada um desses subintervalos, precisamos escolher um ponto específico para calcular a altura do retângulo. Vamos usar os pontos finais à direita, ou seja, para o i -ésimo subintervalo, o ponto será:
xi = 1 + i cdot De<a x = 1 + i cdot 15n
onde i vai de 1 até n .

Passo 4

A altura de cada retângulo é dada pelo valor da função f nesse ponto xi . Então, a altura será:
f(xi) = raiz[4]xi = raiz[4]1 + i cdot 15n

Passo 5

A área de cada retângulo é a altura multiplicada pela largura De<a x . Então, a soma das áreas de todos os retângulos será:
sumi=1^n f(xi) cdot De<a x = sumi=1^n raiz[4]1 + i cdot 15n cdot 15n

Passo 6

Para achar a área total sob o gráfico de f , a gente tira o limite dessa soma quando n tende ao infinito. Isso nos dá a integral definida de f(x) de 1 a 16:
Área = limn to infty sumi=1^n raiz[4]1 + i cdot 15n cdot 15n Á

Resposta

A expressão para a área sob o gráfico de f(x) = raiz[4]x no intervalo de 1 a 16 é
limn to infty sumi=1^n raiz[4]1 + i cdot 15n cdot 15n

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