Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada:
Informações fornecidas:
- A incógnita é a função
. - A derivada indicada é
. - Não foi dada condição inicial; então queremos a solução geral.
- Observe que a expressão contém
no denominador, portanto é natural excluir o ponto da discussão do domínio (a solução será válida em intervalos que não contenham ).
Passo 2
Interpretação e preparação para separação de variáveis.\n
Primeiro escrevemos explicitamente a derivada como . Assim a equação fica
Primeiro escrevemos explicitamente a derivada como
A ideia do método de separação de variáveis é colocar todos os termos que dependem de
de um lado (com
) e todos os termos que dependem de
do outro (com
), para então integrar ambos os lados. Para isso precisamos dividir por
; antes disso notamos que existe a solução trivial
(que satisfaz a equação), e que ao dividir por
estaremos implicitamente assumindo
. Trataremos a solução trivial separadamente (ela será recuperada ao permitir constante de integração igual a zero).
Passo 3
Separando as variáveis.\n
Assumindo , dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Assumindo
Aqui explico o que cada símbolo significa:
-
significa que todos os fatores que dependem de foram colocados junto com o diferencial . -
significa que todos os fatores que dependem de foram colocados junto com .
Passo 4
Integrando ambos os lados.\n
Agora integramos lado a lado. Uso duas integrais básicas:
Agora integramos lado a lado. Uso duas integrais básicas:
-
. Aqui o valor absoluto aparece porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos, e a primitiva de deve cobrir também. -
. Esta primitiva vem da regra para ; aqui .
Aplicando as integrais:
onde
é a constante de integração (já consolidei as constantes dos dois lados em uma só).
Passo 5
Isolando
(exponenciação) e interpretando a constante.\n
Para eliminar o logaritmo, exponenciamos ambos os lados:
Para eliminar o logaritmo, exponenciamos ambos os lados:
Definindo
obtemos
, logo
Podemos escrever essa família de soluções de forma mais compacta usando uma constante
que pode ser qualquer número real (positiva, negativa ou zero):
onde
. Note que escolher
recupera a solução trivial
. Reforçando: essa expressão é válida para
; tipicamente se escolhe um intervalo como
ou
onde a solução é definida continuamente.
Passo 6
Comentário final e dica prática para prova.\n
- Resumo do método aplicado: colocar
expressão separável, rearranjar para , integrar ambos os lados, resolver para e incluir constante de integração. Sempre verificar soluções que foram excluídas ao dividir (aqui ).\n - Dica rápida: ao integrar
lembre-se de que é — é um padrão útil para potências negativas simples.\n - Lembre-se também de indicar o domínio (aqui
) em que a solução é válida.