Ache as soluções gerais para as equações diferenciais dos Problemas 1-5. Se for dada uma condição inicial, encontre a solução particular correspondente.
y^{\prime}+y=2 ; y(0)=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + y = 2
com a condição inicial y(0)=0.
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é padrão para equações da forma
y' + p(x)\,y = q(x).

Passo 2

Identificamos p(x)=1. O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int 1\,dx} = e^{x}.
Multiplicamos toda a equação original por e^{x}:
e^{x}y' + e^{x}y = 2e^{x}.

Passo 3

Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto e^{x}y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}y\bigr) = e^{x}y' + e^{x}y.
Logo, a equação torna-se
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}y\bigr) = 2e^{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x}y = \int 2e^{x}\,dx = 2e^{x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y para obter a solução geral:
y(x) = 2 + C\,e^{-x}.

Passo 6

Usamos a condição inicial y(0)=0:
0 = y(0) = 2 + C\,e^{0} = 2 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -2.
Substituindo em y(x), obtemos a solução particular.

Resposta

Solução geral:
y(x) = 2 + C\,e^{-x}.
Solução particular com y(0)=0:
y(x) = 2 - 2e^{-x}.

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