encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por y= raiz de x, y=2 e x=0 gira em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada por y=\sqrt{x}, y=2 e x=0. O conteúdo aqui é cálculo de volume por sólidos de revolução, usando o método dos discos (ou anéis) e integral definida.

Passo 2

Para identificar a região, achamos onde \sqrt{x}=2, ou seja
\sqrt{x}=2\implies x=4.
A região está entre x=0 e x=4, limitada acima por y=2 e abaixo por y=\sqrt{x}.

Passo 3

Ao girar em torno do eixo x, cada “fatia” em x é um disco com furo interno (um anel) de raio maior R=2 e raio menor r=\sqrt{x}. A área da secção em x vale
A(x)=\pi\bigl(R^2 - r^2\bigr) =\pi\bigl(2^2 - (\sqrt{x})^2\bigr) =\pi\bigl(4 - x\bigr).
Logo, o volume é
V=\int_{0}^{4}A(x)\,dx =\int_{0}^{4}\pi\bigl(4-x\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculando a integral:
V =\pi\int_{0}^{4}(4-x)\,dx =\pi\Bigl[4x-\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{4} =\pi\bigl(16-8\bigr) =8\pi.

Resposta

O volume do sólido é 8\pi.

Exercícios relacionados