Ache as soluções gerais para as equações diferenciais dos Problemas 1-5. Se for dada uma condição inicial, encontre a solução particular correspondente.
x y^{\prime}+2 y=3 x ; y(1)=5

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x\,y' + 2y = 3x,
com condição inicial y(1)=5. O conteúdo é resolução de EDO linear de primeira ordem. Vamos colocá-la na forma padrão e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo tudo por x (considerando x\neq0):
y' + \frac{2}{x}\,y = 3.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \tfrac{2}{x}\,dx\Bigr) = e^{2\ln|x|} = x^2,
já que, perto de x=1, podemos usar x>0.

Passo 4

Multiplicando a equação por x^2, obtemos
x^2y' + 2x\,y = 3x^2,
cujo lado esquerdo é a derivada de x^2y. Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(x^2y\bigr) = 3x^2.
Integramos ambos os lados:
x^2y = \int 3x^2\,dx = x^3 + C.

Passo 5

Isolando y,
y = \frac{x^3 + C}{x^2} = x + C\,x^{-2}.
Essa é a solução geral.

Passo 6

Impondo y(1)=5:
5 = 1 + C\cdot1^{-2}\quad\Longrightarrow\quad C=4.

Resposta

y = x + 4x^{-2}.

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