Ache as soluções gerais para as equações diferenciais dos Problemas 1-5. Se for dada uma condição inicial, encontre a solução particular correspondente.
y^{\prime}+3 y=2 x e^{-3 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + 3y = 2x e^{-3x}
e pede a solução geral. Vamos usar o método do fator integrante, que é típico para resolver equações da forma y' + p(x)\,y = q(x).

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = e^{\int 3\,dx} = e^{3x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x), obtemos
e^{3x}y' + 3e^{3x}y = 2x e^{3x}e^{-3x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{3x}\bigr) = 2x.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
y\,e^{3x} = \int 2x\,dx = x^2 + C,
onde C é a constante de integração. Isolando y, vem
y(x) = \bigl(x^2 + C\bigr)\,e^{-3x}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
\boxed{y(x) = \bigl(x^2 + C\bigr)\,e^{-3x},}
onde C é a constante arbitrária.

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