Ache as soluções gerais para as equações diferenciais dos Problemas 1-5. Se for dada uma condição inicial, encontre a solução particular correspondente.
2 x y^{\prime}+y=10 \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem e linear em y:
2x\,y'+y=10\sqrt{x}.
Vamos reconhecer que é uma EDO linear do tipo
y'+P(x)\,y=Q(x)
e usar fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, dividimos toda a equação por 2x (supondo x>0) para colocá-la em forma padrão:
y'+\frac{1}{2x}\,y =\frac{10\sqrt{x}}{2x} =5\,x^{-1/2}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) =\exp\Bigl(\int \tfrac{1}{2x}\,dx\Bigr) =\exp\bigl(\tfrac12\ln x\bigr) =x^{1/2}=\sqrt{x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=\sqrt{x}:
\sqrt{x}\,y'+\frac{1}{2x}\,\sqrt{x}\,y =(\sqrt{x}y)' \quad\text{e}\quad 5\,x^{-1/2}\,\sqrt{x}=5.
Logo
(\sqrt{x}y)'=5.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\sqrt{x}\,y =\int 5\,dx =5x+C,
onde C é a constante de integração. Assim,
y(x) =\frac{5x+C}{\sqrt{x}} =5\sqrt{x}+C\,x^{-1/2}.

Resposta

A solução geral é
y(x)=5\sqrt{x}+C\,x^{-1/2},
onde C é a constante arbitrária.

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