Ache as soluções gerais para as equações diferenciais dos Problemas 1-5. Se for dada uma condição inicial, encontre a solução particular correspondente.
y^{\prime}+y \cot x=\cos x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + y\cot x = \cos x
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é o método do fator integrante: para
y' + P(x)\,y = Q(x)
o fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr).

Passo 2

Identificamos
P(x)=\cot x,\quad Q(x)=\cos x.
Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=\exp\biggl(\int \cot x\,dx\biggr) =\exp\bigl(\ln|\sin x|\bigr) =|\sin x|.
Como podemos trabalhar em um intervalo em que \sin x não muda de sinal, tomamos \mu(x)=\sin x.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por \mu(x)=\sin x:
\sin x\,y' + y\,\sin x\cot x = \sin x\cos x.
Observamos que
\sin x\,y' + y\,\cos x =\frac{d}{dx}\bigl(y\sin x\bigr),
logo obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(y\sin x\bigr)=\sin x\cos x.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(y\sin x\bigr)\,dx =\int \sin x\cos x\,dx \quad\Longrightarrow\quad y\sin x = \frac{1}{2}\sin^2 x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolamos y:
y = \frac{\tfrac12\sin^2 x + C}{\sin x} =\frac12\sin x + C\,\csc x.

Resposta

y(x)=\frac12\sin x + C\,\csc x,
que é a solução geral da equação diferencial dada.

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