Resolva o problema de valor inicial \left(x^{2}+1\right) \frac{d y}{d x}+3 x^{3} y=6 x \cdot e^{-3 x^{2} / 2} ; y(0)=1.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear de 1ª ordem
(x^2+1)\frac{dy}{dx}+3x^3y=6x\,e^{-3x^2/2}
com condição inicial y(0)=1. O conteúdo é resolução de EDO linear não homogênea por fator integrante. Vamos reescrever na forma padrão e aplicar o fator integrante.

Passo 2

Divide-se por (x^2+1) para obter
\frac{dy}{dx}+\frac{3x^3}{x^2+1}y=\frac{6x}{x^2+1}e^{-3x^2/2}.
Aqui P(x)=\frac{3x^3}{x^2+1} e Q(x)=\frac{6x}{x^2+1}e^{-3x^2/2}.

Passo 3

Calcula-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int\frac{3x^3}{x^2+1}dx\Bigr).
Como
\int\frac{x^3}{x^2+1}dx =\int\Bigl(x-\frac{x}{x^2+1}\Bigr)dx =\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\ln(x^2+1),
segue
\mu(x) =\exp\Bigl(\frac{3x^2}{2}-\frac{3}{2}\ln(x^2+1)\Bigr) =\frac{e^{3x^2/2}}{(x^2+1)^{3/2}}.

Passo 4

Multiplica-se a EDO por \mu(x), obtendo
\frac{d}{dx}\bigl(\mu(x)y\bigr) =\mu(x)Q(x) =\frac{e^{3x^2/2}}{(x^2+1)^{3/2}}\cdot\frac{6x}{x^2+1}e^{-3x^2/2} =\frac{6x}{(x^2+1)^{5/2}}.
Integra-se em x:
\mu(x)y =\int\frac{6x}{(x^2+1)^{5/2}}dx =-\frac{2}{(x^2+1)^{3/2}}+C.
Logo
y =\Bigl(-\frac{2}{(x^2+1)^{3/2}}+C\Bigr)\frac{(x^2+1)^{3/2}}{e^{3x^2/2}} =\bigl(-2+C(x^2+1)^{3/2}\bigr)e^{-3x^2/2}.

Passo 5

Aplica-se a condição inicial y(0)=1. Para x=0 temos (x^2+1)^{3/2}=1 e e^{0}=1, então
1=y(0)=-2+C \quad\Rightarrow\quad C=3.
Substituindo volta-se a expressão de y.

Resposta

y(x)=\bigl(3(x^2+1)^{3/2}-2\bigr)e^{-3x^2/2}.

Exercícios relacionados