Um tanque de 120 galões (gal) contém inicialmente 90 libras de sal dissolvido em 90 galões de água. Água salgada com
de sal flui para o tanque a uma taxa de
, e a mistura escoa para do tanque a uma taxa de
. Quanto sal conterá o tanque quando estiver cheio?
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura: num tanque de capacidade máxima de 120 gal há inicialmente 90 gal de água contendo 90 lb de sal. Entra água salgada com concentração de 2 lb/gal a 4 gal/min e sai mistura a 3 gal/min. Pergunta-se quanto de sal haverá no tanque quando ele atingir 120 gal. O conteúdo que precisamos usar é a equação diferencial linear para mistura, onde a variação de sal é entrada menos saída.
Passo 2
Definimos
como a quantidade de sal (em libras) no tanque no tempo
(min) e
como o volume de líquido (em galões). Como entra 4 gal/min e sai 3 gal/min,
A taxa de variação de
é
Passo 3
Temos a equação linear
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
dá
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Usando a condição inicial
:
Logo
Passo 5
O tanque enche quando
, ou seja
. Então
Resposta
Quando o tanque estiver cheio haverá aproximadamente
libras de sal.