Um tanque de 120 galões (gal) contém inicialmente 90 libras de sal dissolvido em 90 galões de água. Água salgada com 2 \mathrm{lb} / \mathrm{gal} de sal flui para o tanque a uma taxa de 4 \mathrm{gal} / \mathrm{min}, e a mistura escoa para do tanque a uma taxa de 3 \mathrm{gal} / \mathrm{min}. Quanto sal conterá o tanque quando estiver cheio?

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura: num tanque de capacidade máxima de 120 gal há inicialmente 90 gal de água contendo 90 lb de sal. Entra água salgada com concentração de 2 lb/gal a 4 gal/min e sai mistura a 3 gal/min. Pergunta-se quanto de sal haverá no tanque quando ele atingir 120 gal. O conteúdo que precisamos usar é a equação diferencial linear para mistura, onde a variação de sal é entrada menos saída.

Passo 2

Definimos S(t) como a quantidade de sal (em libras) no tanque no tempo t (min) e V(t) como o volume de líquido (em galões). Como entra 4 gal/min e sai 3 gal/min,
V(t)=90+(4-3)t=90+t.
A taxa de variação de S é
\frac{dS}{dt}=\text{(taxa de entrada de sal)}-\text{(taxa de saída de sal)} =4\cdot2-3\cdot\frac{S}{V(t)}=8-\frac{3S}{90+t}.í

Passo 3

Temos a equação linear
\frac{dS}{dt}+\frac{3}{90+t}\,S=8.
O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Bigl(\int\frac{3}{90+t}dt\Bigr) =\exp\bigl(3\ln(90+t)\bigr)=(90+t)^3.
Multiplicando a equação por \mu(t)
\frac{d}{dt}\bigl[S\,(90+t)^3\bigr] =8\,(90+t)^3.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
S\,(90+t)^3 =\int8\,(90+t)^3dt =2\,(90+t)^4+C.
Usando a condição inicial S(0)=90:
90\cdot90^3=2\cdot90^4+C \implies C=-90^4.
Logo
S(t)\,(90+t)^3=2\,(90+t)^4-90^4 \quad\Longrightarrow\quad S(t)=2(90+t)-\frac{90^4}{(90+t)^3}.

Passo 5

O tanque enche quando V(t)=120, ou seja 90+t=120\implies t=30. Então
S(30)=2\cdot120-\frac{90^4}{120^3} =240-\frac{90^4}{120^3} \approx240-37{,}96875 \approx202{,}03125.

Resposta

Quando o tanque estiver cheio haverá aproximadamente 202{,}03 libras de sal.

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