Ache as soluções gerais das seguintes equações diferenciais abaixo (1-3):
y^prime=16 x / y

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação diferencial: y' = 16xy . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, onde a gente procura funções y(x) que satisfaçam essa relação. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis y e x . Multiplicando ambos os lados por y e por dx , temos:
y , dy = 16x , dx
Isso facilita porque agora temos y de um lado e x do outro.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados dessa igualdade. A integral de y , dy é:
integral y , dy = 12y^2 + C1
E a integral de 16x , dx é:
integral 16x , dx = 8x^2 + C2
Aqui, C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 4

Vamos igualar as integrais sem perder o foco nas constantes. Podemos combinar C1 e C2 em uma única constante C :
12y^2 = 8x^2 + C

Passo 5

Para simplificar e isolar y^2 , multiplicamos ambos os lados por 2:
y^2 = 16x^2 + 2C
Podemos renomear 2C simplesmente como C , já que C é uma constante arbitrária.

Passo 6

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para y :
y = pm raiz16x^2 + C
Isso nos dá a solução geral da equação diferencial.

Resposta

As soluções gerais da equação diferencial y' = 16xy são:
y = pm raiz16x^2 + C
onde C é uma constante arbitrária.

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