Ache as soluções gerais das seguintes equações diferenciais abaixo (1-3):
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, onde a gente procura funções
que satisfaçam essa relação. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Multiplicando ambos os lados por
e por
, temos:
Isso facilita porque agora temos
de um lado e
do outro.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados dessa igualdade. A integral de
é:
E a integral de
é:
Aqui,
e
são constantes de integração.
Passo 4
Vamos igualar as integrais sem perder o foco nas constantes. Podemos combinar
e
em uma única constante
:
Passo 5
Para simplificar e isolar
, multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos renomear
simplesmente como
, já que
é uma constante arbitrária.
Passo 6
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para
:
Isso nos dá a solução geral da equação diferencial.
Resposta
As soluções gerais da equação diferencial
são:
onde
é uma constante arbitrária.