Ache as soluções gerais das seguintes equações diferenciais abaixo (1-3):
-pi sen pi x cosh 3 y d x+3 cos pi x senh 3 y d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
-pi sin(pi x)cosh(3y),dx + 3cos(pi x)sinh(3y),dy = 0
Isso é uma EDO na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Vamos usar o critério de exatidão: verificar se partial M/partial y = partial N/partial x e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que dphi=0.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = -pi sin(pi x)cosh(3y), N(x,y) = 3cos(pi x)sinh(3y)
Calculamos
partial Mpartial y = -pi sin(pi x),ddyl[cosh(3y)r] = -pi sin(pi x)cdot 3sinh(3y) = -3pi sin(pi x)sinh(3y),
partial Npartial x = 3,ddxl[cos(pi x)r]sinh(3y) = 3cdot(-pi sin(pi x))sinh(3y) = -3pi sin(pi x)sinh(3y)
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M(x,y) = -pi sin(pi x)cosh(3y)
Integramos em relação a x:
phi(x,y) = integral -pi sin(pi x)cosh(3y),dx = cos(pi x)cosh(3y) + h(y),
pois ddx[cos(pi x)] = -pisin(pi x).

Passo 4

Agora impomos partial phi/partial y = N(x,y). Temos
partial phipartial y = cos(pi x),ddy[cosh(3y)] + h'(y) = 3cos(pi x)sinh(3y) + h'(y)
Igualando a N(x,y)=3cos(pi x)sinh(3y) segue que h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Passo 5

A função potencial fica
phi(x,y) = cos(pi x)cosh(3y) + C1,
e a solução implícita geral é
cos(pi x)cosh(3y) = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

boxedcos(pi x),cosh(3y) = C

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