Determine as dimensiones da caixa retangular com máximo volumem e com área superficial de
Passo 1
O enunciado pede as dimensões de uma caixa retangular que, sujeita à área superficial fixa de ,cm^{2}, tenha volume máximo. O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar multiplicadores de Lagrange para resolver.
Passo 2
Sejam , e as arestas da caixa. O volume é
e a área superficial é
ou seja, a restrição é
Passo 3
Definimos
Pelo método de Lagrange,
gera o sistema
Por simetria das equações, a solução ocorre quando
x = y = z
Passo 4
Substituindo x=y=z na restrição xy + xz + yz = 32 obtemos
3x^2 = 32
e, portanto,
x = raiz323 = 4raiz63
Logo as três arestas são iguais a tfrac4raiz63,cm.