Determine as dimensiones da caixa retangular com máximo volumem e com área superficial de 64 cm^2

Passo 1

O enunciado pede as dimensões de uma caixa retangular que, sujeita à área superficial fixa de 64,cm^{2}, tenha volume máximo. O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar multiplicadores de Lagrange para resolver.

Passo 2

Sejam x, y e z as arestas da caixa. O volume é
V = xyz
e a área superficial é
S = 2,(xy + xz + yz) = 64,
ou seja, a restrição é
xy + xz + yz = 32

Passo 3

Definimos
f(x,y,z) = xyz, g(x,y,z) = xy + xz + yz - 32 = 0
Pelo método de Lagrange,
nabla f = lambda ,nabla g
gera o sistema
partial f/partial x = yz = lambda,(y+z), partial f/partial y = xz = lambda,(x+z), partial f/partial z = xy = lambda,(x+y)
Por simetria das equações, a solução ocorre quando
x = y = z

Passo 4

Substituindo x=y=z na restrição xy + xz + yz = 32 obtemos
3x^2 = 32
e, portanto,
x = raiz323 = 4raiz63
Logo as três arestas são iguais a tfrac4raiz63,cm.

Resposta

As dimensões que maximizam o volume são
x = y = z = 4raiz63 cm

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