Determine três números positivos cuja soma seja 100 e seu produto seja mínimo.
Passo 1
O enunciado pede três números positivos
tais que
e cujo produto
seja o menor possível.
O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange e também analisar o comportamento na fronteira do domínio.
O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange e também analisar o comportamento na fronteira do domínio.
Passo 2
Usando Lagrange, definimos
As condições de otimalidade interior vêm de
juntamente com a restrição
.
Passo 3
Das três primeiras igualdades obtemos
o que implica
. Substituindo na restrição, temos
Esse ponto crítico é único no interior, e seu produto vale
Passo 4
Para decidir se é mínimo ou máximo, podemos usar o argumento da desigualdade AM–GM:
Logo, esse ponto é de máximo de
. Para ver o mínimo, note que se deixarmos, por exemplo,
e
, mantendo
, o produto
Como o domínio exige apenas
(e não inclui zero), não existe tripla que atinja de fato esse valor zero, mas o infimum de
é zero e ele só é alcançado na fronteira onde algum número é zero.
Resposta
Não há três números positivos que atinjam um produto mínimo; o infimum de
sob
é
, obtido no limite em que dois dos números tendem a zero e o terceiro tende a
.