Determine três números positivos cuja soma seja 100 e seu produto seja mínimo.

Passo 1

O enunciado pede três números positivos x,y,z tais que
x+y+z=100
e cujo produto
P = xyz
seja o menor possível.
O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange e também analisar o comportamento na fronteira do domínio.

Passo 2

Usando Lagrange, definimos
L(x,y,z,lambda)=xyz - lambda,(x+y+z-100)
As condições de otimalidade interior vêm de
partialLpartial x=yz-lambda=0, partialLpartial y=xz-lambda=0, partialLpartial z=xy-lambda=0,
juntamente com a restrição x+y+z=100.

Passo 3

Das três primeiras igualdades obtemos
yz = xz = xy = lambda,
o que implica x = y = z. Substituindo na restrição, temos
3x = 100 Rightarrow x = y = z = 1003
Esse ponto crítico é único no interior, e seu produto vale
Pl(tfrac1003,tfrac1003,tfrac1003r) =l(tfrac1003r)^3

Passo 4

Para decidir se é mínimo ou máximo, podemos usar o argumento da desigualdade AM–GM:
x+y+z3>=raiz[3]xyz Longrightarrow xyz<=l(tfrac1003r)^3
Logo, esse ponto é de máximo de P. Para ver o mínimo, note que se deixarmos, por exemplo, xto0^+ e yto0^+, mantendo z=100-x-yto100, o produto
xyzto0
Como o domínio exige apenas x,y,z>0 (e não inclui zero), não existe tripla que atinja de fato esse valor zero, mas o infimum de P é zero e ele só é alcançado na fronteira onde algum número é zero.

Resposta

Não há três números positivos que atinjam um produto mínimo; o infimum de xyz sob x+y+z=100 é 0, obtido no limite em que dois dos números tendem a zero e o terceiro tende a 100.

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