Ache as soluções gerais das seguintes equações diferenciais abaixo (1-3):
y^prime=x(y-x^2+1)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = xl(y - x^2 + 1r)
Este é um caso de EDO linear, pois pode ser escrita na forma
y' + p(x),y = q(x)
Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, isolamos y' e colocamos todos os termos envolvendo y de um lado:
y' - x,y = -,x^3 + x

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = expl(integral p(x),dxr)com p(x) = -x
Logo
mu(x) = expl(integral -x,dxr) = expl(-tfracx^22r)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão por mu(x):
expl(-tfracx^22r),y' ;-; x,expl(-tfracx^22r),y = l(-x^3 + xr)expl(-tfracx^22r)
O lado esquerdo é a derivada do produto y,e^-x^2/2, ou seja,
ddxl(y,e^-x^2/2r) = l(-x^3 + xr)e^-x^2/2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(y,e^-x^2/2r),dx = integral l(-x^3 + xr)e^-x^2/2,dx
Para calcular a integral da direita, fazemos a substituição
t = tfracx^22, dt = x,dx,
e separamos
integral (-x^3+x)e^-x^2/2,dx = -integral x^3 e^-x^2/2,dx + integral x e^-x^2/2,dx
Aplicando a substituição e integrando por partes quando necessário, encontra-se
integral (-x^3+x)e^-x^2/2,dx = (x^2+1)e^-x^2/2 + C
Logo
y,e^-x^2/2 = (x^2+1)e^-x^2/2 + C

Passo 6

Multiplicamos por e^x^2/2 para isolar y:
y = x^2 + 1 + C,e^x^2/2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = x^2 + 1 + C,e^tfracx^22,
onde C é uma constante arbitrária.

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