O raio de um cilindro circular está decrescendo à taxa de 1,2 cm / s enquanto sua altura está crescendo à taxa de 3 cm / s. A que taxa o volume do cilindro estará variando quando o raio vale 80 cm e a altura vale 150 cm ?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse problema sobre como o volume de um cilindro muda quando o raio e a altura estão variando. Aqui, estamos lidando com cálculo de taxas relacionadas. Precisamos conhecer a fórmula do volume de um cilindro e como derivar para encontrar a taxa de variação.

Passo 2

Primeiro, lembra como calcular o volume de um cilindro? É bem simples:
V = pi r^2 h
Onde:
  • V é o volume,
  • r é o raio da base,
  • h é a altura,
  • pi é uma constante (aproximadamente 3,1416).

Passo 3

Agora, para encontrar como o volume está mudando com o tempo, vamos derivar essa fórmula em relação ao tempo t . Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
dVdt = pi (2r h drdt + r^2 dhdt)
Aqui:
  • dVdt é a taxa de variação do volume,
  • drdt é a taxa de variação do raio,
  • dhdt é a taxa de variação da altura.

Passo 4

Vamos agora substituir os valores que a gente tem:
  • r = 80 cm,
  • h = 150 cm,
  • drdt = -1,2 cm/s (negativo porque o raio está diminuindo),
  • dhdt = 3 cm/s.
Substituindo na fórmula:
dVdt = pi (2 times 80 times 150 times (-1,2) + 80^2 times 3)
Vamos calcular passo a passo:
  1. 2 times 80 times 150 = 24.000
  2. 24.000 times (-1,2) = -28.800
  3. 80^2 = 6.400
  4. 6.400 times 3 = 19.200
  5. Somando: -28.800 + 19.200 = -9.600
  6. Finalmente: dVdt = pi times (-9.600)

Resposta

A taxa de variação do volume do cilindro é:
dVdt = -9.600pi cm^3/s
Isso significa que o volume está diminuindo a uma taxa de aproximadamente -30.159 cm³/s.

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