O raio de um cilindro circular está decrescendo à taxa de
enquanto sua altura está crescendo à taxa de
. A que taxa o volume do cilindro estará variando quando o raio vale 80 cm e a altura vale 150 cm ?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse problema sobre como o volume de um cilindro muda quando o raio e a altura estão variando. Aqui, estamos lidando com cálculo de taxas relacionadas. Precisamos conhecer a fórmula do volume de um cilindro e como derivar para encontrar a taxa de variação.
Passo 2
Primeiro, lembra como calcular o volume de um cilindro? É bem simples:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio da base, -
é a altura, -
é uma constante (aproximadamente 3,1416).
Passo 3
Agora, para encontrar como o volume está mudando com o tempo, vamos derivar essa fórmula em relação ao tempo
. Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Aqui:
-
é a taxa de variação do volume, -
é a taxa de variação do raio, -
é a taxa de variação da altura.
Passo 4
Vamos agora substituir os valores que a gente tem:
-
cm, -
cm, -
cm/s (negativo porque o raio está diminuindo), -
cm/s.
Substituindo na fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
-
-
-
-
- Somando:
- Finalmente:
Resposta
A taxa de variação do volume do cilindro é:
Isso significa que o volume está diminuindo a uma taxa de aproximadamente
cm³/s.