Ache a soma das séries. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!} x^{4 n}
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!} x^{4 n}.
Informações relevantes fornecidas:
A série é uma série de potências em x, com termo geral \dfrac{(-1)^{n}}{n!}x^{4n}.
O somatório começa em n=1 e vai até infinito.
O objetivo é reconhecer a soma dessa série como uma função conhecida de x (se existir) e escrevê-la de forma fechada.
Passo 2
Lembrete sobre a série exponencial (ferramenta-chave aqui). A série de Maclaurin (série de Taylor centrada em 0) para a função exponencial é
e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!},
onde t é uma variável real ou complexa. Nesta fórmula:
t é o argumento da exponencial,
n! é o fatorial de n,
a série converge para todo t (ou seja, a série tem raio de convergência infinito).
Essa é uma fórmula fundamental que você deve reconhecer em provas: qualquer série da forma \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(\text{algo})^{n}}{n!} é simplesmente e^{\text{algo}}.
Passo 3
Reconhecendo a série dada como uma série exponencial. Observe que o termo \dfrac{(-1)^{n}}{n!}x^{4n} pode ser escrito como
Expliquei: aqui fiz a substituição t=-x^{4} na série de e^{t}.
Passo 4
Ajuste para o índice que a série do enunciado usa. A série do enunciado começa em n=1, enquanto a série da exponencial começa em n=0. Separe o termo n=0 da série de e^{-x^{4}}:
Discussão rápida sobre convergência e validade (como se faria na prova). A série de e^{t} converge para todo t. Como aqui t=-x^{4} é um número finito para qualquer x\in\mathbb{R} (ou complexo), a substituição é legítima e a igualdade vale para todo x. Logo a expressão fechada e^{-x^{4}}-1 é válida para todo x.
Passo 6
Cheque rápido com um exemplo numérico simples para ganhar confiança. Tome x=1. A soma fica