Ache a soma das séries.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!} x^{4 n}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!} x^{4 n}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A série é uma série de potências em x, com termo geral \dfrac{(-1)^{n}}{n!}x^{4n}.
  • O somatório começa em n=1 e vai até infinito.
    O objetivo é reconhecer a soma dessa série como uma função conhecida de x (se existir) e escrevê-la de forma fechada.

Passo 2

Lembrete sobre a série exponencial (ferramenta-chave aqui). A série de Maclaurin (série de Taylor centrada em 0) para a função exponencial é
e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!},
onde t é uma variável real ou complexa. Nesta fórmula:
  • t é o argumento da exponencial,
  • n! é o fatorial de n,
  • a série converge para todo t (ou seja, a série tem raio de convergência infinito).
    Essa é uma fórmula fundamental que você deve reconhecer em provas: qualquer série da forma \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(\text{algo})^{n}}{n!} é simplesmente e^{\text{algo}}.

Passo 3

Reconhecendo a série dada como uma série exponencial. Observe que o termo \dfrac{(-1)^{n}}{n!}x^{4n} pode ser escrito como
\frac{(-1)^{n}}{n!}x^{4n}=\frac{\bigl(-x^{4}\bigr)^{n}}{n!}.
Então a soma a partir de n=0 seria exatamente a exponencial:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\bigl(-x^{4}\bigr)^{n}}{n!}=e^{-x^{4}}.
Expliquei: aqui fiz a substituição t=-x^{4} na série de e^{t}.

Passo 4

Ajuste para o índice que a série do enunciado usa. A série do enunciado começa em n=1, enquanto a série da exponencial começa em n=0. Separe o termo n=0 da série de e^{-x^{4}}:
e^{-x^{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\bigl(-x^{4}\bigr)^{n}}{n!}=\underbrace{\frac{\bigl(-x^{4}\bigr)^{0}}{0!}}_{=1}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\bigl(-x^{4}\bigr)^{n}}{n!}.
Portanto a soma que queremos é a diferença entre e^{-x^{4}} e o termo n=0:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\bigl(-x^{4}\bigr)^{n}}{n!}=e^{-x^{4}}-1.

Passo 5

Discussão rápida sobre convergência e validade (como se faria na prova). A série de e^{t} converge para todo t. Como aqui t=-x^{4} é um número finito para qualquer x\in\mathbb{R} (ou complexo), a substituição é legítima e a igualdade vale para todo x. Logo a expressão fechada e^{-x^{4}}-1 é válida para todo x.

Passo 6

Cheque rápido com um exemplo numérico simples para ganhar confiança. Tome x=1. A soma fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}=\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\right)-1=e^{-1}-1,
o que bate com a fórmula encontrada.

Resposta

e^{-x^{4}}-1

Exercícios relacionados